Sur les problèmes de Zermelo 2D du point de vue du contrôle optimal

Séminaire Analyse et Dynamique, Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné, Université Côte d’Azur

Olivier Cots

2024-10-12

Notations utiles

• Dynamique contrôlée : \(\dot{q} = F_0(q) + u_1 F_1(q) + u_2 F_2(q) \in \mathbb{R}^2\), \(\quad \lVert u \rVert \leq 1\),
• Pseudo-hamiltonien : \(H(q,p,u) = \langle p, F_0(q) + u_1 F_1(q) + u_2 F_2(q) \rangle\),
• Relèvements hamiltoniens : \(H_i(q,p) = \langle p, F_i(q) \rangle\),
• Contrôle optimal : \[ u^*(q,p) = \frac{1}{\lvert p \rvert} (H_1(q,p), H_2(q,p)), \] où \(\lvert p \rvert = \lVert (H_1(q,p), H_2(q,p)) \rVert\),
• Hamiltonien maximisé : \(H^*(q,p) = \max_{\lvert u \rvert \leq 1} H(q,p,u) = H_0(q,p) + \lvert p \rvert\).
• Puisque le temps final est libre, on a \(H^*(q,p) = -p^0 \ge 0\).

Exemple historique : référence

Exemple historique : paramétrisation

Exemple historique : trajectoires

Problème vortex : référence

Problème vortex : composantes de Reeb 1/3

Problème vortex : composantes de Reeb 2/3

Problème vortex : composantes de Reeb 3/3

Problème en micromagnétisme : référence

Problème en micromagnétisme : exemple dans le cas Finsler

Problème en micromagnétisme : lieu de transition

Problème de Kepler moyenné : référence

Problème de Kepler moyenné : synthèse

Problème de Kepler moyenné : trajectoires

Problème de Kepler moyenné : sphères